| Abstract |
Let A be tIxe infinitesimal generatorof a continuoussemigroupof boundedlinear operatorsTÚ) on i%&<,(t1). U the operators TÚ) are submarkovian, then A satisfies the «Kato inequalities»:fwAudp=-cjoU, A'u>for ucD(A), 0=peD(A9and wcL'(flqi) with w('x)c3j(u(x» p—a.e.Xcfl, wheredj is dxc subdifferentialof a convex funetion j0 sur .1%(fl) de générateur infinitésimal A. Qn vérifie facilement que I'inégaíité (*) pour tous les opérateursT= T(í) implique l'inégalité (**) fwAu dg=r2> 1991 Mathematics Subject Classification: 47D03, 47D07, 31C45. Editorial Complutense. Madrid, 1992. 280 Wolfgang Arendt ant? Ph¡/ippe Benilan pour uED(A), 0=gcD(A') et wcL1(fl,g) avec w(x)Edj(u(x)) jip.p.xEfi, oú Oj est le sous-différentielde la fonction convexe j et A' est l'adjoint de A dans¡'espace£4 (fi)' des mesuresde Radon born¿essur fi. Dansle casoú A est le Laplaciensurf=~(Y*N)et j(r)= ¡rl, ¡'inégalité (**) est précisémentl'in¿galit¿ classiquede Kato Au sign u=A¡u¡ au sensdes distributions. En prerxant d'autres fonctions convexesj, on obtient aínsi une variété d'«inégalitésde Kato» pour le Laplacien quenousétudierons(cf. [5] oú des inégalitésde Kato pour d'autres fonctions j sontutilisées). La partie priricipale de cet article est consacr¿eau problémeréciproque: les inégalités(**) pour le générateurA impliquent-ellesque le semi-groupe (T<'¡» est sous-markovien?Nous verrons qu'en généralceel n'est pas vrai, mémesi (**) est satisfaitepour toute fonetion convexej avecj(0)=0. Par contresonsdesconditionssupplémentaires, l'implication estvraiemémesíon nc saítpasa priori que A est générateurd'un semi-groupe.Parexempleon a le résultatsuivant: soit A un opérateurde SC 0(fi) á domainedensetel que (1—A A)— 1 soit défirxi sur 16% (fi) et positif pour A >0 petit, alors A engendre un semi-groupesous-markoviensi eL seulementsi les inégalités (**) sont satisfaitespour axa moins unefonction convexe j ayeej(0)=0 qui n'est pas sons-linéaíre. Nousétudieronségalementles éga¡itéscorrespondant á (~) et montrerons que, sons certaines hypothésessupplémentaires,elles caractérisent les générateursde semi-groupesd'homomorphismesde l'algebre 16%(fi). Le plan de 1'article suiL exactement¡es paragraphesci-dessus:darís la Section I, nousprécisonsle lien entre¡'inégalité de JenseneL les opérateurs sous-markoviens;dans la Section 2, nous donnons diverses versions de l'in¿galité de Kato; la Section 3 est consacréeá la réciproqueeL la Section4 á la caractérisationdes générateursde semi-groupesd'homomorphismes. Remerciements. Nous tenons á remercier M. O. Crandalí pour des discussionssurlinégalité de Kato par rapportá unefonction convexedansle cadre abstrait. m. mNÉGALmTÉDE JENSENET OPÉRATEURSSOUS-MARKOVIENS On sedonnefi un espacelocalementcompactet on note .St}fl) ¡'espace desfonctionscontinuesdefl dans3~ ásupportcompact,munide satopologie de limite projeetive usuelle; 17(0) désignel'espace des fonctions partout Inégalirésde Kato el Semi-GroupesSous-Markoviens 281 définiesdell dans3\, muni dela topologiede la convergesimple. SoiL Tune applicationIinéairede 3='(fi)dans17(11). Qn dit que Testposií0 , j(r)=brpourr<0, j(O)=0 avec~oc0 et notons 'R la fonction indicatrice du segment[—R,+ R] définie par J5(r)—O si ¡r¡=R IR(r)=±oosi ¡r¡>R. II est clair que T est sous-invariantpar l,~ si et seulementsi 7' est contractantdans3; (11). Plusgénéralement considéronsles fonctionsj de la forme (4) j(r)=wr si &. =r=R~,j(r)=+oc si rR~ avec w EL, —~ < & <0< R+ < + oc Qn voit facilement qu'il existe 7' sousinvariantpar j qui n'est paspositifk Qn note J11 la r¿unionde l'ensembledes fonctionsdela forme(4), de l'ensembledesfonctions linéaires(correspondant it la forme (4) ayeeR+=—R =+co) et de Jo (correspondantit la forme(4) avec = 1? = O). Qn a la caractérisationsuivante: Théor'eme1. Les asserrions suivantes sotE équiva/enhes: (¡3 7' esí sous-markov¡en, (¡1) Tasi sous-¡nvarianípar iout jC J0, (iii) II existejc J0\(J~ ¡ U J, ) tel que T soir sous-invariantpar 1. La propriété (u) du Théoréme 1 est directementreliée it ¡'«inégalité de Jensen»pour une mesurede probabilitéssur fi. En effet étant donnéxdfl, notonsmr la forme linéairesur S*1}fI) définie par (5) mr4s)=(Tu) (x) pour tsE .40(11). II est cláir que Testpositif (resp.sous-markovien)si et seulementsi pour tout xEfl, m~ est une mesurede Radon positive (resp.et de massetotale =1). D'un autrecoté Test sous-invariantpar j si et seulementsi pour tout xEfI, la forme linéairem = mr vérifie (6) j()=pour tsE .4<(fl) avec u(fl)GD~) Les Proposition 1 eL Théoréme Y sont done en fait des corollaires du résultatsuivant: Inéga/ités de Kato el Semi-Groupes Sous-Marlcoviens 283 Tbéoréme 2. Soil m uneforme /inéaire sur a) Lesasseriionssuivantessoníéquivalenies: (1) m en unemesurede Radonpositive (resp. a de masseiota/e=1) (u) ¡1 existejeJo\JÍ, (resp. J0\(J5,UJ,1» tel que(6) soil vér¡fiée. b) Lorsque(i)-(¡¡) sonívér4fiées,a/orspour buí u EL' (fil, m) el j EJ5, (resp. 4), on a (7) j(fu(x) din(x))=fj(u(x)) dm(x) Notonsquel'intégraledansle deuxiémemembrede(7) a bienun senspuisque j est minoré par une fonetion affine (voir Remarque 1 ci-dessous).Ces résultatssont relativementclassiques,tout particuliérementla partie b) du Théoréme2 qui est essentiellement l'inégalité de .Iensen.Nous en donnons néanmoinsei-dessousune démontration compléte pour le lecteur. Mais auparavanténon9onsle résultatsuivantdu mémetype: Tliéoréme 3. Les asseríions suivanies soní équivalentes: (1) T esí un homorphLsme d'algébre, c'est 2, dire (8) 7' (uv)=(Tu) (Tv,) pour u, vcSt}ti), (II,) Tesí invarianí par buí jEJ«, c'est a dire (9) jo Tu= T(jo u,) pour ueSt'(fl) avec u(fl)G DG), (¡¡1,) T est invarianí par íouíefoncí¡on j: ~ \ continue ayee j(O) = 0. (iv) 1/ exLsie j E J0\J51 ayee DG) = 3\ lelle que T soil Invarianí par j (y) 11 exLs le UCd el ep: U—fi teis que pour uESt'(f1), lafoncilon Tu solí donnée par (10) Tu (x)=u<~p (x)) si xE U, Tu(x)=0sixEfBU Remarque1. Avant de donnerles d¿monstrations, rappelonsqu'étant donnéj ej« eL rE mt (D (O)~ les dérivéesit droite j' (r+) et it gauchej' (r—) 284 Wo/fgarzgArendí ant? Phi/¡ppe Betil/an existent et vérifient fi (r—)=j'(r +); jI est classique(eL élémentaire)que l'intervalle LI'(r—), j'(r±)] est exactemeniíl'ensembledes récísw vérifiant (11) j(s)=j(r,)+w(s—r) pour tout sCl& D'une maniéreplus gén¿ralepour rEDO), on note Oj(r,) l'ensembledesréels it' vérifiant (11); la multi-application Oj est le sous-différeníielde j. En particulier on a wEOj(0) si et seulementsi j(r)=wr. Maintenantsi jCJ« et WEJ\, les relations(3), (6), (7), (9) sontvraiespour j si eL seulementsi elles le sontpourla fonction r — j (r)—wr. Parconséquent, dansles démonstrations des résultats,on pourra toujours se resteindreit des fonctions j v¿rif¡antsoit j=0soit c3>I(0)=0. Preuve du Théor'enie 2.b). Considéronsd'abord une fonetion jCJ51 donnéepar (3). Sib>—oo, remplagant 1 par j~,)-br (voir la Remarque1 cidessus),on peut Loujours supposerb=0. Alors, supposantque ni est une mesurede Radon positive, on a pour uC L' (fi, in) (fu(x) drn(xj>~=fu(x)~ dm(x) et donc(7). Le casa<+ocsetraite demaniéreidentique; le casa=~b=+oc est trivial. Supposonsmaintenantm(fl)=1 et soh uCL'(fl,mj Qn peut toujours supposer (12) u(x)ED~) m-p.p.xcfl stnon le deuxiémemembrede (7) vaut + et le résultatest trivial. Posons c=(1/m(f |
