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Propriétés qualitatives de solutions de quelques équations paraboliques semi-linéaires
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Brandolese, Lorenzo |
| Copyright Year | 2010 |
| Abstract | Ce memoire constitue un travail de synthese de nos travaux dans le domaine des equations aux derivees partielles, notamment les equations non-lineaires de type parabolique. Les modeles traites ici sont issus principalement de la mecanique des fluides, de la geophysique, ou des bio-mathematiques ; dans d'autres cas les motivations viennent de la theorie des probabilites. On touchera ici aux questions centrales de l'existence, de l'unicite, ou de l'explosion en temps fini des solutions, qui occupent une place importante dans nos travaux, ainsi qu'a leur comportement asymptotique. C'est precisement l'etude de proprietes fines sur le comportement en temps long, ou sur le comportement a l'infini en variable d'espace sous de differentes perspectives (dissipation de l'energie, croissance ou decroissance temporelle, profils asymptotiques, autosimilarite, diffusion spatiale, questions de localisation, etc.) qui represente notre contribution la plus importante. Les equations de Navier–Stokes constituent un defi remarquable pour toutes ces questions : en effet, il est rare que des techniques ou idees standards apportent des avancees vraiment significatives dans ce modele. C'est pourquoi ces equations occupent une place privilegiee dans nos travaux. Le premier chapitre est donc consacre au systeme de Navier–Stokes, et le deuxieme a d'autres modeles de la mecanique des fluides incompressibles (magneto–hydrodynamique, systeme de Boussinesq, etc.) qui sont des generalisations assez naturelles de celui-ci. On insistera notamment sur l'etude de proprietes qualitatives des solutions qui sont specifiques a chacun de ces modeles. Dans le troisieme chapitre nous abordons le probleme de la stabilite des ecoulement stationnaires. Le quatrieme chapitre est consacre a l'etude de l'autosimilarite : nous aurons alors l'opportunite de revenir sur les equations de Navier–Stokes, mais aussi d'introduire d'autres systemes, et d'etudier une equation non-locale de convection avec diffusion non-standard. Dans le cinquieme chapitre nous nous interessons a deux modeles bien connus en chimiotactisme : nous y presentons nos travaux sur la convergence du systeme parabolique-parabolique de Keller–Segel vers le systeme parabolique–elliptique, ainsi qu'un theoreme d'explosion. Dans le dernier chapitre nous illustrons les resultats de deux articles, dans lesquels nous apportons une contribution a l'analyse fonctionnelle et harmonique, sur des questions liees a la theorie des multiplicateurs dans les espaces de Sobolev, a la theorie de l'approximation et aux bases d'ondelettes. Ces deux contributions a l'Analyse, a priori assez independantes du reste de notre production, n'en sont pas completement deconnectees. En effet de differentes techniques d'analyse harmonique apparaissent souvent dans nos demonstrations : l'analyse de Fourier classique d'abord (la methode de Fourier splitting par exemple), qui conduit a des resultats souvent optimaux dans l'etude du comportement en temps long des solutions ; l'analyse de Littlewood–Paley est un outil puissant pour prouver des resultats d'existence ou d'unicite ; les espaces de Besov permettent non seulement de mesurer avec precision la regularite des solutions, mais ils peuvent egalement nous renseigner sur leur caractere oscillant. Nous avons aussi ete amenes a developper certains aspects de la theorie des espaces a poids afin de resoudre un probleme de localisation en magneto-hydrodynamique. De plus, la plupart des modeles que nous avons etudies ont une nature non locale : la perturbation d'une quantite dans une region de l'espace a des repercussions importantes sur le comportement du systeme entier, meme a de grandes distances. Nous abordons l'etude de ces modeles en les reecrivant sous une forme pseudo-differentielle. Les applications de la theorie des integrales singulieres sont, alors, souvent decisives dans notre travail. Les sections 1.1.1 et 1.1.2 presentent des resultats directement issus de la these. Le chapitre 6 est lui aussi etroitement lie a la these, bien que les theoremes qu'ils y sont presentes aient ete re-elabores assez en profondeur. Le reste du chapitre 1 et les chapitres 2 a 5 contiennent nos resultats plus recents. Ces chapitres se terminent par une section illustrant des perspectives, ainsi que quelques pistes pour des recherches futures. |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| Alternate Webpage(s) | https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00575646/document |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
