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Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion : version stochastique et edp
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Rakotonasy, Solonjaka Hiarintsoa |
| Copyright Year | 2012 |
| Abstract | Ce travail a pour but de proposer des outils visant `a comparer des resultats exp´erimentaux avec des modeles pour la dispersion de traceur en milieu poreux, dans le cadre de la dispersion anormale.Le “Mobile Immobile Model” (MIM) a ete a l’origine d’importants progres dans la description du transport en milieu poreux, surtout dans les milieux naturels. Ce modele generalise l’quation d’advection-dispersion (ADE) e nsupposant que les particules de fluide, comme de solut´e, peuvent ˆetre immo-bilis´ees (en relation avec la matrice solide) puis relˆachees, le piegeage et le relargage suivant de plus une cin´etique d’ordre un. Recemment, une version stochastique de ce modele a ´ete proposee. Malgre de nombreux succes pendant plus de trois decades, le MIM reste incapable de repr´esenter l’´evolutionde la concentration d’un traceur dans certains milieux poreux insatures. Eneffet, on observe souvent que la concentration peut d´ecroˆitre comme unepuissance du temps, en particulier aux grands temps. Ceci est incompatible avec la version originale du MIM. En supposant une cinetique de piegeage-relargage diff´erente, certains auteurs ont propos´e une version fractionnaire,le “fractal MIM” (fMIM). C’est une classe d’´equations aux d´eriv´ees par-tielles (e.d.p.) qui ont la particularit´e de contenir un op´erateur int´egral li´e`a la variable temps. Les solutions de cette classe d’e.d.p. se comportentasymptotiquement comme des puissances du temps, comme d’ailleurs cellesde l’´equation de Fokker-Planck fractionnaire (FFPE). Notre travail fait partie d’un projet incluant des exp´eriences de tra¸cageet de velocimetrie par R´esistance Magn´etique Nucl´eaire (RMN) en milieuporeux insatur´e. Comme le MIM, le fMIM fait partie des mod`eles ser-vant `a interpreter de telles exp´eriences. Sa version “e.d.p.” est adapt´eeaux grandeurs mesur´ees lors d’exp´eriences de tra¸cage, mais est peu utile pour la velocimetrie RMN. En effet, cette technique mesure la statistiquedes d´eplacements des mol´ecules excit´ees, entre deux instants fixes. Plus precisement, elle mesure la fonction caracteristique (transform´ee de Fourier) de ces d´eplacements. Notre travail propose un outil d’analyse pour ces experiences: il s’agit d’une expression exacte de la fonction caract´eristiquedes d´eplacements de la version stochastique du mod`ele fMIM, sans oublier les MIM et FFPE. Ces processus sont obtenus `a partir du mouvement Brown-ien (plus un terme convectif) par des changement de temps aleatoires. Ondit aussi que ces processus sont des mouvement Browniens, subordonnespar des changements de temps qui sont eux-mˆeme les inverses de processusde L´evy non d´ecroissants (les subordinateurs). Les subordinateurs associes aux modeles fMIM et FFPE sont des processus stables, les subordinateursassoci´es au MIM sont des processus de Poisson composites. Des resultatsexp´erimenatux tr`es r´ecents on sugg´er´e d’´elargir ceci `a des vols de L´evy (plusg´en´eraux que le mouvement Brownien) subordonnes aussi.Le lien entre les e.d.p. fractionnaires et les mod`eles stochastiques pourla sous-diffusion a fait l’objet de nombreux travaux. Nous contribuons `ad´etailler ce lien en faisant apparaˆitre les flux de solut´e, en insistant sur une situation peu ´etudiee: nous examinons le cas o`u la cinetique de piegeage-relargage n’est pas la mˆeme dans tout le milieu. En supposant deux cinetiques diff´erentes dans deux sous-domaines, nous obtenons une version du fMIMavec un operateur integro-diff´erentiel li´e au temps, mais dependant de la position.Ces r´esultats sont obtenus au moyen de raisonnements, et sont illustres par des simulations utilisant la discretisation d’integrales fractionnaires etd’e.d.p. ainsi que la methode de Monte Carlo. Ces simulations sont en quelque sorte des preuves numeriques. Les outils sur lesquels elles s’appuient sont presentes aussi. |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| Alternate Webpage(s) | https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00839892/document |
| Alternate Webpage(s) | https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00839892v1/document |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
