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The Eisenstein cocycle and Gross’s tower of fields conjecture
| Content Provider | Springer Nature Link |
|---|---|
| Author | Dasgupta, Samit Spieß, Michael |
| Copyright Year | 2016 |
| Abstract | This paper is an announcement of the following result, whose proof will be forthcoming. Let F be a totally real number field, and let $$F \subset K \subset L$$ be a tower of fields with L / F a finite abelian extension. Let I denote the kernel of the natural projection from $$\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$$ to $$\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(K/F)]$$ . Let $$\Theta \in \mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$$ denote the Stickelberger element encoding the special values at zero of the partial zeta functions of L / F, taken relative to sets S and T in the usual way. Let r denote the number of places in S that split completely in K. We show that $$\Theta \in I^{r}$$ , unless K is totally real in which case we obtain $$\Theta \in I^{r-1}$$ and $$2\Theta \in I^r$$ . This proves a conjecture of Gross up to the factor of 2 in the case that K is totally real and $$\#S \ne r$$ . In this article we sketch the proof in the case that K is totally complex.Ce papier est une annonce du résultat suivant, dont la preuve est imminente. Soit F un corps de nombres totalement réel, et soit $$F \subset K \subset L$$ une tour d’extensions, où l’extension L / F est abélienne finie. Soit I le noyau de la projection naturelle de $$\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$$ vers $$\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(K/F)]$$ . Soit $$\Theta \in \mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$$ l’élément de Stickelberger qui encode les valeurs spéciales en zéro des fonctions zêta partielles de L / F, prise par rapport à des ensembles S et T de places de F de la manière usuelle. Soit r le nombre de places dans S qui sont totalement déployées dans K. Nous démontrons que $$\Theta \in I^r$$ , à moins que K ne soit totalement réel auquel cas nous obtenons $$\Theta \in I^{r-1}$$ et $$2 \Theta \in I^r$$ . Ceci démontre une conjecture de Gross, à un facteur de 2 près dans le cas où K est totalement réel et $$\#S \ne r$$ . Dans cet article, nous esquissons une preuve dans le cas où l’extension K est totalement complexe. |
| Starting Page | 355 |
| Ending Page | 376 |
| Page Count | 22 |
| File Format | |
| ISSN | 21954755 |
| Journal | Annales mathématiques du Québec |
| Volume Number | 40 |
| Issue Number | 2 |
| e-ISSN | 21954763 |
| Language | English |
| Publisher | Springer International Publishing |
| Publisher Date | 2016-01-07 |
| Publisher Place | Cham |
| Access Restriction | One Nation One Subscription (ONOS) |
| Subject Keyword | Algebra Analysis Eisenstein cocycle Mathematics Gross’s conjecture Number Theory Zeta functions and $L$-functions of number fields Stickelberger elements |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
| Subject | Mathematics |
