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Développement et analyse de schémas volumes finis motivés par la présentation de comportements asymptotiques. Application à des modèles issus de la physique et de la biologie
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Bessemoulin-Chatard, Marianne |
| Copyright Year | 2012 |
| Abstract | Cette these est dediee au developpement et a l’analyse de schemas numeriques de type volumes finis pour des equations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modeles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous interessons plus particulierement a la preservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s’articule en trois parties, composees chacune de deux chapitres. Dans la premiere partie, nous considerons la discretisation du systeme de derive diffusion lineaire pour les semi-conducteurs par le schema de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous interessons a la preservation par ce schema de deux types d’asymptotiques : l’asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous demontrons des estimations d’energie–dissipation d’energie discretes qui permettent de prouver d’une part la convergence en temps long de la solution approchee vers une approximation de l’equilibre thermique, d’autre part la stabilite a la limite quasi-neutre du schema. Dans la deuxieme partie, nous nous interessons a des schemas volumes finis preservant l’asymptotique en temps long dans un cadre plus general. Plus precisement, nous considerons des equations de type convection-diffusion non lineaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : equations des milieux poreux, systeme de derive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discretisations en espace permettant de preserver le comportement en temps long des solutions approchees. Dans un premier temps, nous etendons la definition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non lineaire. Ce schema fournit des resultats numeriques satisfaisants si la diffusion ne degenere pas. Dans un second temps, nous proposons une discretisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en reecrivant le flux sous la forme d’un flux d’advection. Le flux numerique est defini de telle sorte que les etats d’equilibre soient preserves, et nous utilisons une methode de limiteurs de pente pour obtenir un schema precis a l’ordre deux en espace, meme dans le cas degenere. Enfin, la troisieme et derniere partie est consacree a l’etude d’un schema numerique pour un modele de chimiotactisme avec diffusion croisee pour lequel les solutions n’explosent pas en temps fini, quelles que soient les donnees initiales. L’etude de la convergence du schema repose sur une estimation d’entropie discrete necessitant l’utilisation de versions discretes d’inegalites fonctionnelles telles que les inegalites de Poincare-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La demonstration de ces inegalites fait l’objet d’un chapitre independant dans lequel nous proposons leur etude dans un contexte assez general, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une generalisation au cadre des schemas DDFV. |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| Alternate Webpage(s) | https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00763720/document |
| Alternate Webpage(s) | https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00836514/document |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
