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Sous-groupes analytiques de groupes algebriques
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Waldschmidt, Michel |
| Copyright Year | 1983 |
| Abstract | Soient G un groupe algebrique defini sur la cloture algebrique Q de Q dans C, et w: Cn' -G(C) un homomorphisme analytique. En general, q)(C') n'est pas un sous-groupe algebrique de G(C), mais s'enroule autour de son adherence de Zariski. Nous allons donner des conditions arithmetiques qui assurent que l'image est fermee. Ce probleme a ete etudie' d'abord par Lang [2, Chap. II] pour les sous-groupes a un parametre. On sait maintenant que pour n = 1, il suffit qu'il existe 5 nombres complexes, lineairement independants sur Z, dont les images par qD soient dans G(Q), pour assurer que q)(C) est ferme (cf. [9, Th. 4.2.1]; l'hypothese que G est commutatif et connexe n'est pas restrictive). Dans le cas general (n 2 1), les premiers resultats sur ce sujet ont ete obtenus par Bombieri et Lang [1]. Les enonces anterieurs de Lang [2] ne concernaient que les sous-groupes "normalises" (voir aussi [9, Chap. 3 et 5]) dont nous ne parlerons pas ici. L'interet d'obtenir des resultats sans hypothese de normalisation avait ete souligne par Lang dans [2, pp. 20, 39 et 44]. Les enonces de Bombieri et Lang [1] (voir aussi [9, ?8.2]) imposaient des conditions severes sur l'approximation diophantienne des logarithmes. Ces conditions provenaient d'une estimation analytique, le lemme de Schwarz. En poursuivant la methode de Bombieri et Lang, mais en rempla~ant leur estimation analytique par un lemme de Schwarz conjectural, nous avons montre dans [9, Chap. 8] comment les hypotheses diophantiennes devraient pouvoir etre remplacees par des conditions d'algebre lineaire. Jusqu'a present ce lemme de Schwarz n'a ete demontre que dans quelques cas particuliers [9, Chap. 7]. Nous utilisons ici une approche differente, qui evite le lemme de Schwarz, mais qui utilise un resultat puissant, le "lemme de zeros" de Masser et Wustholz [4]. Les resultats auxquels nous arrivons sont precisement ceux qui ont ete conjectures dans [9], notamment le probleme 8.2.3 de [9]. Le cas G = Gd (oui Gm est le groupe multiplicatif) avait ete resolu dans [10], et nous generalisons ici la methode de [10] pour l'adapter a un groupe algebrique quelconque. |
| Starting Page | 627 |
| Ending Page | 627 |
| Page Count | 1 |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| DOI | 10.2307/2007037 |
| Volume Number | 117 |
| Alternate Webpage(s) | https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/AnnMaths117-1983.pdf |
| Alternate Webpage(s) | https://doi.org/10.2307/2007037 |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
