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Utilisation du calcul de morphismes pour factoriser et décomposer les systèmes fonctionnels linéaires
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Cluzeau, Thomas Quadrat, Alban |
| Copyright Year | 2006 |
| Abstract | Within a constructive homological algebra approach, we study the factorization and decomposition problems for general linear functional systems (determined, under-determined, overdetermined). Using the concept of Ore algebras of functional operators (e.g., ordinary/partial differential operators, shift operators, time-delay operators), we first concentrate on the computation of morphisms from a finitely presented left module M over an Ore algebra to another one M , where M (resp., M ) is a module intrinsically associated with the linear functional system Ry = 0 (resp., R z = 0). These morphisms define applications sending solutions of the system R z = 0 to the ones of Ry = 0. We explicitly characterize the kernel, image, cokernel and coimage of a general morphism. We then show that the existence of a non-injective endomorphism of the module M is equivalent to the existence of a non-trivial factorization R = R2R1 of the system matrix R. The corresponding system can then be integrated in cascade. Under certain conditions, we also show that the system Ry = 0 is equivalent to a system R z = 0, where R is a block-triangular matrix of the same size as R. We show that the existence of projectors of the ring of endomorphisms of the module M allows us to reduce the integration of the system Ry = 0 to the integration of two independent systems R1 y1 = 0 and R2 y2 = 0. Furthermore, we prove that, under certain conditions, idempotents provide decompositions of the system Ry = 0, i.e., they allow us to compute an equivalent system R z = 0, where R is a block-diagonal matrix of the same size as R. Many applications of these results in mathematical physics and control theory are given. Finally, the different algorithms of the paper are implemented in a Maple package Morphisms based on the library OreModules. Key-words: Linear functional systems, factorization and decomposition problems, morphisms, equivalences of systems, Galois symmetries, quadratic first integrals of motion, quadratic conservation laws, controllability, constructive homological algebra, module theory, symbolic computation. ∗ INRIA Sophia Antipolis, CAFE project, 2004 Route des Lucioles BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France, Thomas.Cluzeau@sophia.inria.fr † INRIA Sophia Antipolis, CAFE project, 2004 Route des Lucioles BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France, Alban.Quadrat@sophia.inria.fr Utilisation du calcul de morphismes pour factoriser et décomposer les systèmes fonctionnels linéaires Résumé : En utilisant l’algèbre homologique constructive, nous étudions les problèmes de factorisation et décomposition des systèmes fonctionnels linéaires (déterminés, sous-déterminés, surdéterminés). Après avoir rappelé le concept d’algèbre de Ore d’opérateurs fonctionnels (e.g., opérateurs différentiels ordinaires ou aux dérivées partielles, opérateurs de décalage, opérateurs de retard), nous nous concentrons tout d’abord sur le calcul des morphismes d’un module à gauche M de présentation finie sur une algèbre de Ore dans un second module M , où M (resp., M ) est le module intrinsèquement associé au système fonctionnel linéaire Ry = 0 (resp., R z = 0). Ces morphismes définissent des applications envoyant les solutions du système R z = 0 sur des solutions de Ry = 0. Nous caractérisons explicitement le noyau, l’image, le conoyau et la coimage d’un morphisme quelconque et montrons que l’existence d’un endomorphisme non-injectif du module M est équivalente à l’existence d’une factorisation non-triviale R = R1R2 de la matrice R du système. Le système correspondant peut alors être intégré en cascade. Sous certaines conditions de liberté, nous prouvons aussi que le système Ry = 0 est équivalent à un système R z = 0, où R est une matrice triangulaire par blocs. Nous montrons ensuite que l’existence de projecteurs dans l’anneau des endomorphismes du module M permet de ramener l’intégration du système Ry = 0 à celle de deux systèmes indépendants R1 y1 = 0 et R2 y2 = 0. De plus, nous prouvons que, sous certaines conditions de liberté, les idempotents mènent à des décompositions du système Ry = 0, i.e., permettent de calculer un système équivalent R z = 0, où R est une matrice diagonale par blocs. Plusieurs applications de ces résultats en physique mathématique et théorie du contrôle sont présentées. Les différents algorithmes proposés sont implémentés dans un package Maple appelé morphisms qui est basé sur la librairie OreModules. Mots-clés : Systèmes fonctionnels linéaires, problèmes de factorisation et de décomposition, morphismes, équivalence de systèmes, symétries de Galois, intégrales premières quadratiques du mouvement, lois de conservation quadratiques, contrôlabilité, algèbre homologique effective, théorie des modules, calcul symbolique. Using morphism computations for factoring and decomposing linear functional systems 3 |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| Alternate Webpage(s) | http://hal.inria.fr/docs/00/08/37/46/PDF/RR-5942.pdf |
| Alternate Webpage(s) | http://perso.ensil.unilim.fr/~cluzeau/CLQuRR.pdf |
| Alternate Webpage(s) | http://www.unilim.fr/pages_perso/thomas.cluzeau/Publications/CQ_RR_FactoDec.pdf |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
