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Méthodes numériques avancées pour la finance . — Méthodes de splitting —
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Bidégaray-Fesquet, Brigitte |
| Abstract | 1 Les modèles d'´ equations aux dérivées partielles en mathématiques fi-nancì eres 1.1 Le modèle de Black et Scholes L'´ equation de Black et Scholes [4] est l'´ equation satisfaite par le prix d'une option (de vente, put) européenne. On note u(t, s) ce prix qui dépend du temps t ∈]0, T ] (dont on a retourné le sens) et de la valeur du cours s > 0. L'´ equation de Black et Scholes s'´ ecrit ∂ t u(t, s) − 1 2 σ 2 (t, s)s 2 ∂ 2 ss u(t, s) − r(t)s∂ s u(t, s) + r(t)u(t, s) = 0. Ce modèle est paramétré par la volatilité σ(t, s) du prix de l'action et le taux d'intérêt sans risque r(t). Cetté equation est assortie d'une donnée initiale, qui est la fonction payoff u(0, s) = u 0 (s) = (K − s) + ≡ max(K − s, 0), o ` u K est le prix d'exercice de l'option. Pour ce type de put, il existe une solution explicitè a l'EDP (qui a valu le prix Nobel d'´ economiè a Robert Merton et Myron Scholes en , Fischer Blackétant mort en ). En revanche, ce n'est pas le cas si on complexifie cetté equation pour mieux correspondrè a la réalité des marchés financiers. Tout d'abord, il paraˆıt naturel de généraliser au cas d'options portant sur plusieurs actifs de ∂ t u(t, s) − 1 2 k i,j=1 ξ ij (t, s)s i s j ∂ 2 s i s j u(t, s) − k i=1 r(t)s i ∂ s i u(t, s) + r(t)u(t, s) = 0. Les coefficients de la matrice ξ sont ξ ij (t, s) = σ 2 1 k−1 < p < 1, ce qui est fait que cette matrice est symétrique définie positive. Cette propriété est fondamentale pour que leprobì eme de Cauchy (i.e. aux données initiales) soit bien posé, c'est-` a-dire ait une solution unique pour tout temps. Il y a alors différentes façons de choisir la fonction de payoff, classiquement – u 0 (s) = (K − |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| Alternate Webpage(s) | http://ljk.imag.fr/membres/Brigitte.Bidegaray/Sources/cours2010a.pdf |
| Alternate Webpage(s) | http://ljk.imag.fr/membres/Brigitte.Bidegaray/Sources/cours2012.pdf |
| Alternate Webpage(s) | http://ljk.imag.fr/membres/Brigitte.Bidegaray/Sources/cours2011.pdf |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
