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Contributions aux méthodes de calcul basées sur l'approximation de tenseurs et applications en mécanique numérique
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Giraldi, Loïc |
| Copyright Year | 2012 |
| Abstract | Cette these apporte differentes contributions a la resolution de problemes de grande dimension dans le domaine du calcul scientifique, en particulier pour la quantification d'incertitudes. On considere ici des problemes variationnels formules dans des espaces produit tensoriel. On propose tout d'abord une strategie de preconditionnement efficace pour la resolution de systemes lineaires par des methodes iteratives utilisant des approximations de tenseurs de faible rang. Le preconditionneur est recherche comme une approximation de faible rang de l'inverse. Un algorithme glouton permet le calcul de cette approximation en imposant eventuellement des proprietes de symetrie ou un caractere creux. Ce preconditionneur est valide sur des problemes lineaires symetriques ou non symetriques. Des contributions sont egalement apportees dans le cadre des methodes d'approximation directes de tenseurs qui consistent a rechercher la meilleure approximation de la solution d'une equation dans un ensemble de tenseurs de faibles rangs. Ces methodes, parfois appelees "Proper Generalized Decomposition" (PGD), definissent l'optimalite au sens de normes adaptees permettant le calcul a priori de cette approximation. On propose en particulier une extension des algorithmes gloutons classiquement utilises pour la construction d'approximations dans les ensembles de tenseurs de Tucker ou hierarchiques de Tucker. Ceci passe par la construction de corrections successives de rang un et de strategies de mise a jour dans ces ensembles de tenseurs. L'algorithme propose peut etre interprete comme une methode de construction d'une suite croissante d'espaces reduits dans lesquels on recherche une projection, eventuellement approchee, de la solution. L'application a des problemes symetriques et non symetriques montre l'efficacite de cet algorithme. Le preconditionneur propose est applique egalement dans ce contexte et permet de definir une meilleure norme pour l'approximation de la solution. On propose finalement une application de ces methodes dans le cadre de l'homogeneisation numerique de materiaux heterogenes dont la geometrie est extraite d'images. On presente tout d'abord des traitements particuliers de la geometrie ainsi que des conditions aux limites pour mettre le probleme sous une forme adaptee a l'utilisation des methodes d'approximation de tenseurs. Une demarche d'approximation adaptative basee sur un estimateur d'erreur a posteriori est utilisee afin de garantir une precision donnee sur les quantites d'interet que sont les proprietes effectives. La methodologie est en premier lieu developpee pour l'estimation de proprietes thermiques du materiau, puis est etendue a l'elasticite lineaire. |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| Alternate Webpage(s) | https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00861986/document |
| Alternate Webpage(s) | http://hal.inria.fr/docs/00/86/19/86/PDF/main.pdf |
| Alternate Webpage(s) | http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/86/19/86/PDF/main.pdf |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
