Étude géométrique et structures différentielles généralisées sur les algèbres de Lie quasi-filiformes complexes et réelles

Content Provider	Semantic Scholar
Author	Vergnolle, Lucía García
Copyright Year	2009
Abstract	Le premier probleme qui se pose naturellement lors de l'etude des algebres de Lie nilpotentes est la classification de celles-ci en petite dimension. La classification des algebres de Lie nilpotentes complexes a ete completee jusqu'en dimension 7. Pour les dimensions inferieures ou egales a 6, il n'existe, sauf isomorphismes, qu'un nombre fini d'algebres de Lie nilpotentes complexes. Ancochea a classe les algebres de Lie nilpotentes complexes en dimension 7 selon leur suite caracteristique. On obtient ainsi, une liste plus etendue qui contient des familles d'algebres de Lie non isomorphes entre elles.On envisage alors d'etudier les algebres de Lie nilpotentes selon leur nilindice, en commencant par celles qui ont un nilindice maximal, c'est-a-dire , les algebres de Lie filiformes. Des 1970. Vergne a initie l'etude des algebres de Lie filiformes. Elle a montre que sur un corps ayant une infinite d'elements, il n'existe, sauf isomorphismes, que deux algebres de Lie filiformes naturellement graduees de dimension paire 2n, nommees L2n et Q2n, et une seule en dimension impaire 2n + 1, appelee L2n+ avec n E N.Plus recemment, Snobl et Winternitz ont determine les algebres de Lie ayant comme nilradical l'algebre Ln, sur le corps des complexes et des reels. Afin de completer cette classification a toutes les algebres de Lie filiformes naturellement graduees, nous avons proceder de meme avec les algebres Q2n,. Nous demontrons ensuite que si une algebre de Lie indecomposable de dimension finie possede un nilradical filiforme alors elle est forcement resoluble. Les algebres de Lie filiformes ne presentent donc aucun interet dans l'etude des algebres de Lie non resolubles.Ce resultat n'est plus vrai pour les algebres de Lie quasi-filiformes dont leur nilradical est abaisse d'une unite par rapport aux filiformes. En effet, en cherchant toutes les algebres de Lie dont le nilradical est quasi-filiforme naturellement gradue, on a trouve des algebres de Lie non resolubles ayant un nilradical quasi-filiforme.Ce meme contre-exemple, revele aussi des differences entre la notion de rigidite dans R et dans C. La classification des algebres de Lie rigides complexes ayant ete deja faite jusqu'a dimension 8, on est alors amene a trouver cette classification dans le cas reel.Par ailleurs, on a determine les algebres de Lie quasi-filiformes ayant un tore non nul, on obtient une liste beaucoup plus riche que pour le cas filiforme. Cette liste nous permet de prouver la completude des algebres de Lie quasi-filiformes. Rappelons que toutes les algebres de Lie filiformes sont aussi completes.Finalement, on s'interesse a l'existence de structures complexes associees aux algebres de Lie filiformes et quasi-filiformes. Goze et Remm ont demontre que les algebres filiformes n'admettaient pas ce type de structure. Depuis une approche differente, nous allons redemontrer ce resultat et nous allons voir qu'il existe par contre des algebres de Lie quasi-filiformes munies d'une structure complexe, mais seulement en dimension 4 et 6.
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Language	English
Access Restriction	Open
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Resource Type	Article