Le p-Laplacien non-local sur graphes: du discret au continu

Content Provider	Semantic Scholar
Author	Hafiene, Yosra Fadili, Jalal M. Elmoataz, Abderrahim
Copyright Year	2017
Abstract	– L'equation d'evolution du p-Laplacien non-local, gouvernee par un noyau donne, a de tres nombreuses applications pour modeliser les phenomenes de diffusion, notamment en traitement du signal et des images sur graphes. En pratique, cette equation d'evolution est imple-mentee sous une forme discrete (en temps et en espace) comme une approximation numerique du probleme continu, ou le noyau est remplace par la matrice d'adjacence d'un graphe. La question naturelle est alors d'etudier la structure des solutions du probleme discret et d'en etablir la limite continue. C'est l'objectif poursuivi dans ce travail. En combinant des outils issus de la theorie des graphes et des equations d'evolution non-lineaires, nous donnons une interpretation rigoureuse a la limite continue du probleme du p-Laplacien discret sur graphes. Plus specifique-ment, nous considerons une suite de graphes (deterministes) dont l'objet limite est appele graphon. L'equation d'evolution du p-Laplacien est alors discretisee en temps et en espace sur cette suite de graphes. Ainsi, nous prouvons la convergence des solutions de la suite des problemes discretises vers la solution du probleme d'evolution continu gouverne par le graphon lorsque le nombre des noeuds du graphe tend vers l'infini. Ce faisant, nous exhibons les vitesses de convergence correspondantes pour differents modeles de graphes, et mettons en exergue l'influence de la geometrie du graphon. Dans le cas de graphes aleatoires, en utilisant des inegalites de concentration fines, nous fournissons les vitesses de convergence de la solution discrete vers sa limite continue avec grande probabilite et montrons l'influence de la valeur de p. Abstract – The non-local p-Laplacian evolution equation, governed by given kernel, has various applications to model diffusion phenomena, in particular in signal and image processing. In practice, such an evolution equation is implemented in discrete form (in space and time) as a numerical approximation to a continuous problem, where the kernel is replaced by an adjacency matrix of graph. The natural question that arises is to understand the structure of solutions to the discrete problem, and study their continuous limit. This is the goal pursued in this work. Combining tools from graph theory and non-linear evolution equations, we give a rigorous interpretation to the continuous limit of the discrete p-Laplacian on graphs. More specifically, we consider a sequence of (deterministic) graphs converging to a so-called graphon. The continuous p-Laplacian evolution equation is then discretized on this graph sequence both in space and time. We therefore prove that the solutions of the sequence of discrete problems converge to the solution of the continuous evolution problem governed by the graphon, when the number of graph vertices grows to infinity. We exhibit the corresponding convergence rates for different graph models, and point out the role of the graphon geometry. For random graph sequences, using sharp concentration inequalities, we deliver convergence rate with overwhelming probability and show the influence of the choice of p.
File Format	PDF HTM / HTML
Alternate Webpage(s)	https://dogbe.users.lmno.cnrs.fr/6-colloques/colloque-2017/abstractPosters2017/ResumeHafiene.pdf
Alternate Webpage(s)	https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01589687/file/gretsien.pdf
Language	English
Access Restriction	Open
Content Type	Text
Resource Type	Article