Controle Robusto H∞ De Sistemas Lineares Discretos No Tempo Com Atraso Nos Estados via Realimentação Estática De Saída

Content Provider	Semantic Scholar
Author	Alter
Copyright Year	2015
Abstract	We propose sufficient conditions to handle the H∞ control problem of linear discrete-time systems with delayed states through static output feedback. We introduce a control law that allows to feedback both the current output of the system and its delayed one. We concern with both the precisely known case as well as with the robust H∞ control of systems with polytopic uncertainties. In both cases it is possible to improve the H∞ performance index by a linear search on two scalar parameters. The proposed conditions obtained by using Lyapunov-Krasovskii (L-K) functions that are parameter dependent in case of uncertain systems. The proposal is illustrated by two numerical examples. Keywords— Discrete-time systems with delayed states; Static output feedback; Robust control; Guaranteed H∞ cost control. Resumo— Propomos condições suficientes para tratar o problema de controle H∞ de sistemas lineares discretos no tempo com estados atrasados via realimentação estática de saída. Introduzimos uma lei de controle que permite realimentar a saída atual e também a saída atrasada do sistema. Tratamos tanto o caso precisamente conhecido quanto o controle robusto H∞ de sistemas com incertezas politópicas. Em ambos os casos é possível melhorar os índices de desempenho H∞ por meio de uma busca linear em dois parâmetros escalares. As condições são obtidas utilizando funções de Lyapunov-Krasovskii (L-K) que são dependentes de parâmetro no caso de sistemas incertos. A proposta é ilustrada por dois exemplos numéricos. Palavras-chave— Sistemas discreto no tempo com estados atrasados; Realimentação estática de saída; Controle robusto; Controle com custo garantido H∞. 1 Introdução Neste trabalho propomos uma condição para o controle robusto de sistemas discretos no tempo com atrasos nos estados via realimentação estática de saída (SOF, do inglês static output feedback) obtida por meio da extensão dos resultados propostos em (Chang e Yang, 2014). A SOF é um problema em aberto na literatura que tem desafiado a comunidade ligada à teoria de controle nos últimos anos. Em particular, é possível reescrever o problema de realimentação dinâmica de saída (DOF, do inglês dynamic output feedback) como um problema de síntese de ganho de SOF via um sistema aumentado (Syrmos et al., 1997). Por outro lado, sistemas com atrasos nos estados também apresentam desafios para o estudo da estabilidade ou mesmo da estabilização (Richard, 2003). Essa classe de sistemas pode ser encontrada tanto nos casos contínuo quanto no caso discreto no tempo. Em ambos os casos, a abordagem predominante na literatura utiliza o método de Lyapunov-Krasovskii. Outras abordagens utilizam, por exemplo funções de Razumikhin. Para uma revisão do assunto, veja (Richard, 2003). Outro aspecto prático que precisa ser considerado são as diferenças entre os modelos matemáticos usados para análise de estabilidade e síntese de controladores e os sistemas reais. Essas diferenças podem ser representadas como incertezas limitadas em norma, pertencentes a intervalos ou a politopos, dentre outras. Neste trabalho utilizaremos a representação politópica para as incertezas. Por isso propomos o projeto de controladores robustos, isto é, controladores que preservam a estabilidade e, eventualmente, o desempenho do sistema incerto em malha fechada como, por exemplo, o custo garantido H∞. O problema de robustez utilizando a realimentação de estados para sistemas discretos no tempo com atrasos nos estados pode ser encontrado em (Leite et al., 2011). O problema de síntese de controladores SOF para sistemas discretos no tempo livres de atrasos nos estados foi estudado em (Peaucelle e Arzelier, 2001; H. R. Moreira e Peres, 2011; Mehdi et al., 2004) e a minimização do custo H∞ nesses sistemas foi considerada, por exemplo, em (Bara e Boutayeb, 2005; Du e Yang, 2008). Em (Bara e Boutayeb, 2005) são propostas condições para síntese do controlador utilizando uma transformação de similaridade e a imposição de uma estrutura particular na variável de busca, as quais eliminam a não-linearidade da formulação, tornando possível a solução numérica do problema. O método é proposto em 2 passos, assim como em (Peaucelle e Arzelier, 2001) para contornar a não-convexidade devido ao produto de variáveis de otimização. Em (Mehdi et al., 2004) é também utilizada uma técnica em duas etapas para a síntese de controladores para sistemas lineares incertos discretos no tempo. Nessa técnica primeiro é projetado um ganho por realimentação de estados que é o parâmetro usado para a síntese do controlador de saída. Essa mesma condição é explorada em (H. R. Moreira e Peres, 2011) para a síntese de controladores por SOF que minimizam o critério H2. Recentemente, Chang e Yang (2014) propuseram uma condição que faz uma aproximação interna ao conjunto das soluções de controladores SOF estabilizantes. Nesse trabalho, é feita uma busca em variáveis escalares e é resolvida, a cada iteração, uma LMI. A proposta visa a minimização do custo H∞ do sistema em malha fechada. As condições são elaboradas para o caso precisamente conhecido, não incluindo o caso incerto. A técnica usada em (Chang e Yang, 2014) assemelhase às abordagens recentemente propostas por Karimi et al. (2007), Karimi e Sadabadi (2013), Ebihara et al. (2014) que utilizam uma aproximação interior convexa dentro de todo o conjunto não-convexo de soluções. No contexto de sistemas discretos no tempo com atrasos nos estados, o problema de síntese para SOF pode ser encontrada em , por exemplo, (Song et al., 1999; Gao et al., 2004; He et al., 2008). Em todos esses trabalhos, é investigado o controle via SOF de sistemas discretos no tempo precisamente conhecidos com atraso variante no tempo presente nos estados. Em (Song et al., 1999) são propostas LMI independentes do atraso para a solução do problema de SOF, considerando que o estado atrasado é uma perturbação. A síntese do ganho para o controle H∞ do sistema com atraso via SOF é feita via um sistema auxiliar sem atrasos. Gao et al. (2004) utilizam um algoritmo para a relaxação das condições não convexas propostas e é indicada a extensão dos resultados para o caso com incertezas limitadas em norma. As condições propostas são do tipo dependentes do atraso. Em (He et al., 2008) é proposta uma abordagem dependente do atraso para a síntese para o controle via SOF utilizando LMI e restrições de igualdade. Apenas o caso precisamente conhecido pode ser tratado pelas condições propostas. A contribuição deste trabalho está na formulação do problema de síntese de ganho robusto para SOF de sistemas incertos discretos no tempo com atraso nos estados. Utilizamos uma candidata a função de Lyapunov-Krasovskii (L-K) dependente de parâmetros simplificada para demonstrar o potencial da abordagem proposta. O critério de custo garantido H∞ é inserido para assegurar um desempenho mínimo do sistema em malha fechada. As técnicas usadas são baseadas nos resultados de Chang e Yang (2014), resultando em uma condição não-convexa que é resolvida por um algoritmo de relaxação. A formulação do problema investigado é feita na seção 2 e os resultados principais são apresentados na seção 3. Exemplos numéricos são apresentados na seção 4, ilustrando o uso da metodologia proposta. O trabalho é encerrado com as conclusões que são apresentados na seção 5. Notação: N (N∗) denotam o conjunto dos números naturais (excluindo o 0) e [a,b] representa o conjunto de todos inteiros n tal que a ≤ n ≤ b. xk ∈ Rn é o vetor de estado no tempo da amostra k. I e 0 são as matrizes identidade e nula, respectivamente, de dimensões apropriadas. M = diag{M1, M2} representa a blocodiagonal da matriz M formado por matrizes M1 e M2 na diagonal principal. M > 0 (M < 0) significa que M é definida positiva (negativa). MT representa a transposta de M. O símbolo ⋆ é usado para indicar os blocos em diagonal simétrica em matrizes. 2 Preliminares Seja o sistema linear discreto no tempo sujeito a atraso no vetor de estados dado por
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Resource Type	Article