Méthodes variationnelles pour l'étude de milieux dissipatifs : applications en rupture, endommagement et plasticité

Content Provider	Semantic Scholar
Author	Babadjian, Jean-François
Copyright Year	2013
Abstract	Les travaux presentes dans ce memoire portent sur l'analyse mathematique de modeles dissipatifs en mecanique des milieux continus. Une attention est portee sur des modeles variationnels de mecanique de la rupture, d'endommagement et de plasticite. Par un souci d'unite, nous avons selectionne le sous-ensemble maximal de nos travaux lies a ces sujets, en mettant ostensiblement de cote les articles \cite{BBDJ9,BBDJ10,BBDJ11,BBDJ13,BBDJ15} dont les domaines d'application different peu ou prou de ceux presentes ici. En particulier, les articles \cite{BBDJ10,BBDJ11} en collaboration avec V. Millot qui portent sur l'homogeneisation de fonctionnelles integrales avec contrainte dans une variete relevent plutot de modeles de micromagnetisme. L'article \cite{BBDJ13} en collaboration avec E. Bonnetier et F. Triki traite de la diffraction d'ondes electromagnetiques sur des surfaces rugueuses par des methodes d'equations integrales et d'analyse spectrale. Enfin les articles \cite{BBDJ9} avec E. Zappale et H. Zorgati, et \cite{BBDJ15} avec F. Prinari et E. Zappale ont trait a l'etude de problemes de reduction de dimension pour des energies a croissance critique. Le cas d'energies a croissance lineaire dans \cite{BBDJ9} releve d'une analyse dans l'espace des fonctions a variation bornee. Le cas d'energies a croissance infinie dans \cite{BBDJ15} donne lieu a l'etude de fonctionnelles supremales, liees au Laplacien infini, et est motive par des modeles de rupture dielectrique. Dans le chapitre 1, il nous a semble approprie de rappeler les notions de thermomecanique des milieux continus pour aboutir a la modelisation de milieux dissipatifs. Nous insistons plus particulierement sur les milieux standards generalises et les processus independants des vitesses. Ce chapitre est le denominateur commun de la plupart des modeles d'elasticite, d'endommagement, de visco-plasticite, d'elasto-plasticite et de fracture evoques dans la suite de ce memoire. Le chapitre 2 est consacre a l'etude d'un modele de mecanique de la rupture initialement introduit par Griffith et reformule variationnellement par Francfort et Marigo. Nous presentons tout d'abord un resultat d'existence de solutions fortes dans le cas 2D antiplan. Nous nous concentrons ensuite sur l'etude d'une classe de materiaux particuliers que sont les films minces. Dans un premier temps, nous montrons comment divers modeles de membranes heterogenes peuvent etre obtenus a l'aide d'une analyse asymptotique par Gamma-convergence. Ensuite, nous nous interessons a la croissance quasi-statique des fissures dans les films minces et etablissons que les fissures sont asymptotiquement invariantes dans la direction de l'epaisseur. Enfin, nous etudions le decollement et la delamination de couches minces dont la modelisation repose soit sur la presence de defauts internes au milieu, soit sur un choix approprie de lois d'echelles sur la rigidite et la tenacite du milieu. Le chapitre 3 concerne l'etude de modeles d'endommagement. Une premiere partie est consacree a la theorie de l'homogeneisation de fonctionnelles integrales sur laquelle repose la comprehension de certains de ces modeles. A cet effet, nous rappelons les resultats classiques et exposons une approche par mesures de Young multi-echelles. Nous nous consacrons ensuite a l'etude des materiaux composites ainsi qu'a une propriete de localite pour cette classe de milieux homogeneises. Dans une seconde partie, nous presentons un modele d'evolution quasi-statique en endommagement brutal introduit par Francfort et Marigo, ainsi qu'un modele de couplage entre l'endommagement et la rupture introduit par Fonseca et Francfort. Tels quels, ces modeles s'averent etre mal poses, ce qui necessite de definir une notion de solutions relaxees. A cet effet, nous etablissons des resultats d'existence d'evolutions quasi-statiques homogeneisees. Dans une troisieme partie, nous etudions une evolution par flot gradient d'un modele d'endommagement non local. L'existence d'un flot gradient unilateral pour la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli est demontree a l'aide de la methode des mouvements minimisants et la convergence vers les mouvements minimisants unilateraux de la fonctionnelle de Mumford-Shah est etablie. Le quatrieme et dernier chapitre traite de modeles d'elasto-plasticite. Apres avoir rappele des resultats classiques sur la plasticite des metaux et des alliages, nous nous concentrons sur la plasticite des materiaux granulaires en mecanique des sols. Nous etudions tout d'abord un modele de plasticite associee avec cap et une loi d'ecrouissage sur celui-ci. En regime dynamique, nous montrons le caractere bien pose de ce modele ainsi que la convergence vers un modele de plasticite parfaite lorsque l'on fait tendre le cap a l'infini. En regime quasi-statique, nous etablissons un resultat d'existence ou le principe de travail maximal de Hill est remplace par une identite d'energie. Enfin nous etudions un modele d'elasto-plasticite non-associee avec cap, pour lequel la loi de normalite n'est plus valable, en regime quasi-statique. Comme les solutions semblent presenter des discontinuites temporelles, nous etablissons un resultat d'existence pour des temps convenablement remis a l'echelle. En annexe, nous regroupons l'ensemble des notations utilisees dans ce memoire. Nous rappelons egalement un certain nombre de resultats classiques concernant notamment les fonctions a derivees mesures et la Gamma-convergence.
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Language	English
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Resource Type	Article