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Sur le nombre de réflexions pleines dans les groupes de Coxeter finis
| Content Provider | Semantic Scholar |
|---|---|
| Author | Chapoton, Frédéric |
| Copyright Year | 2004 |
| Abstract | On considere differents aspects d’une formule dans les groupes de Coxeter finis. 0 Introduction Cet article tourne autour d’une formule qui definit, pour chaque groupe de Coxeter fini W , un entier positif fW dependant seulement de la donnee des exposants de ce groupe de Coxeter. On peut verifier facilement, au cas par cas, que cet entier est le nombre de reflexions dans W qui sont pleines, i.e. dont toutes les decompositions reduites font intervenir tous les generateurs de Coxeter. Cet article comprend deux parties de nature differentes. Dans la premiere partie, on cherche a obtenir une categorification de la formule, c’est a dire a l’interpreter comme une egalite de dimensions provenant d’un isomorphisme entre deux modules sur le groupe de Coxeter. On obtient une conjecture qui decrit precisement les modules qui doivent entrer en jeu, puis on demontre cette conjecture dans les cas des types A,B et I. La seconde partie est consacree a une autre apparition de la formule dans le contexte des systemes de racines. Dans le cas des systemes de racines, les reflexions sont en bijection avec les racines positives. Par cette bijection, les reflexions pleines correspondent aux racines positives qui sont pleines, au sens ou leur expression dans la base des racines simples n’a pas de coefficient nul. Par une dualite conjecturale sur l’ensemble des antichâines du poset des racines positives, les racines pleines devraient etre en bijection avec les antichâines sans racines simples de cardinal maximal. On montre que le nombre de telles antichâines est bien egal au nombre de reflexions pleines. On propose ensuite une conjecture reliant le polynome H qui enumere les antichâines selon leur cardinal et le nombre de racines simples qu’elles contiennent a un polynome F similaire introduit precedemment [5]. Par definition, un des coefficients de H est donne par la formule qui nous interesse ici. 1 Reflexions pleines Soit W un groupe de Coxeter fini de rang n et S = {s1, . . . , sn} l’ensemble des reflexions simples de W . Une reflexion σ dans W est dite pleine si toute |
| Starting Page | 585 |
| Ending Page | 596 |
| Page Count | 12 |
| File Format | PDF HTM / HTML |
| DOI | 10.36045/bbms/1168957336 |
| Volume Number | 13 |
| Alternate Webpage(s) | http://arxiv.org/pdf/math/0405371v1.pdf |
| Alternate Webpage(s) | https://arxiv.org/pdf/math/0405371v1.pdf |
| Alternate Webpage(s) | https://doi.org/10.36045/bbms%2F1168957336 |
| Language | English |
| Access Restriction | Open |
| Content Type | Text |
| Resource Type | Article |
