Nombres d'intersection arithmétiques et opérateurs de Hecke sur les courbes modulaires

Content Provider	Semantic Scholar
Author	Menares, Ricardo
Copyright Year	2008
Abstract	Nombres d'intersection arithmetiques et operateurs de Hecke sur les courbes modulaires Cette these s'inscrit dans l'etude des operateurs de Hecke en tant que correspondances sur les courbes modulaires X_0(N). D'une part, nous etudions la relation entre l'algebre de Hecke et la theorie d'Arakelov; d'autre part, nous entreprenons un debut d'etude de la dynamique de l'action des operateurs de Hecke sur l'ensemble des courbes elliptiques supersingulieres. On considere la courbe modulaire X_0(N) munie de la metrique de Poincare (metrique hyperbolique). Cette metrique presente des singularites aux points elliptiques et pointes. On suppose que N est sans facteurs carres. On note XN le modele entier de cette courbe donne par l'interpretation modulaire etudiee par Deligne et Rapoport. On definit un groupe de Chow arihmetique generalise CH(N) tel que ses elements sont representes par des couples (D,g) avec D un diviseur de Weil sur XN et g un courant de Green admissible pour la metrique de Poincare. J.-B. Bost et U. Kuhn ont developpe, de maniere independante, des generalisations de la theorie d'intersection arithmetique d'Arakelov qui fournissent une forme bilineaire a valeurs reelles sur CH(N) x CH(N) dans ce cadre ou la metrique est singuliere. On etudie aussi une version a coefficients reels et a equivalence numerique pres de CH(N), que l'on note CH(N)*. Nous montrons dans cette these que les correspondances de Hecke agissent sur CH(N) et que cette action est autoadjointe par rapport a la forme bilineaire de Bost-Kuhn. Ceci permet de diagonaliser cette action sur CH(N)* et de definir ses sous-espaces propres. Ensuite nous etudions le faisceau dualisant relatif, considere comme un element de CH(N)*, ainsi que sa decomposition selon les sous-espaces propres. Nous calculons l'auto-intersection de la composante propre correspondante a la pointe a l'infini en utilisant des resultats d'Ulf Kuhn. L'action des operateurs de Hecke sur les fibres speciales de XN definit une dynamique qui preserve les points supersinguliers. Nous nous interessons a etudier cette action sur les points supersinguliers des fibres de bonne reduction et nous calculons, a l'aide des resultats de Deuring et Eichler, la frequence asymptotique avec laquelle un point supersingulier donne visite un autre point du meme type.
File Format	PDF HTM / HTML
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Language	English
Access Restriction	Open
Content Type	Text
Resource Type	Article